Μαθηματικά παραμύθια, Ροδόλφος Μπόρης

Μαθηματικά παραμύθια, Ροδόλφος Μπόρης, (έγχρωμη έκδοση) 24γράμματα

Το πιο έξυπνο βιβλίο για όσους αγαπούν, πραγματικά, τα μαθηματικά. Ο αχώριστος σύντροφος όλων των μαθηματικών

ελάχιστο επίπεδο: Γ΄λυκείου, πρώτα έτη πανεπιστημίου (φυσικομαθηματικο – πολυτεχνείο).

25 μοναδικές μαθηματικές ιστορίες που εντυπωσιάζουν τους φίλους των μαθηματικών ανά τον κόσμο (κυκλοφορεί και στα Αγγλικά, παγκόσμια πρωτοτυπία)

Μια μαθηματική ιδιοφυΐα, ο Ροδόλφος Μπόρης, μας μυεί στον μαγικό κόσμο των μαθηματικών. Για πρώτη φορά οι φίλοι των μαθηματικών  θα ασχοληθούν με πανέξυπνες ιστορίες, όπως η ακόλουθη

ΑΝ ΔΕΝ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΣΥΜΒΟΛΑ ΔΕΙΤΕ ΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑ ΕΔΩ ΣΕ ΜΟΡΦΗ .pdf https://24grammata.com/wp-content/uploads/2022/01/Pages-from-ΜΠΟΡΗΣ_ΠΑΡΑΜΥΘΙΑ.pdf

Λέξεις και ιδέες (1η ιστορία Ανάλυση – Ακολουθίες)
Όταν οι λέξεις επαναστάτησαν απέναντι στα γράμματα, γεννήθηκαν όντα φτερωτά που τα είπανε ιδέες. Άλλοτε ήταν τρομαχτικά και κάρφωναν τα νύχια τους στο μυαλό αυτουνού που τις σκεφτόταν. Άλλοτε πάλι ήταν λυτρωτικά ανοίγοντας δρόμους φανερούς ως το ποτάμι, που το νερό του το λέγανε σκοπό.
Προσπάθησα να συναρμολογηθώ μετά από πενήντα χρόνια, ράβοντας με γυάλινες κλωστές πάνω σ’ ένα τσουβάλι όλες μου τις ιδέες.
Η πρώτη σκέψη που έκανα μου ’δωσε μια ιδέα. Δυστυχώς όμως ξεχνούσα.
Για καλή μου τύχη ανακάλυψα το παρακάτω σχήμα της ραφής. Οι ιδέες που ξεχνούσα κάθε φορά που έκανα μια σκέψη, μαζί μ’ αυτές που ξέχασα πως είχα ξεχάσει την προηγούμενη φορά, βγαίνανε πάντα ίδιες με τις σκέψεις που ήδη έχω κάνει. Φανταστείτε ότι εκατό εκατομμύρια σκέψεις έχω κάνει προσπαθώντας να φτιάξω το γαζί. Δεν ξέρω όμως πόσες ιδέες ξέχασα. Μήπως μπορείτε να το βρείτε εσείς για εμένα; Γιατί φοβάμαι μην ξεμείνω από ύφασμα, πριν προλάβω να ντυθώ…

Η μορφή της μαθηματικής επαγωγής που χρησιμοποιείται
εδώ είναι: Δείχνουμε ότι η πρότασή μας ισχύει για ν=1.
Δεχόμαστε ότι ισχύει για ν=2,ν=3,…,ν=κ και αποδεικνύουμε ότι
ισχύει για ν=κ+1.
Υπακολουθία μιας δοσμένης ακολουθίας αν είναι μια καινούργια
ακολουθία που προκύπτει από επιλογή των όρων της αν.
Ακριβέστερα : Αν κν γνήσια αύξουσα ακολουθία θετικών ακεραίων
τότε η 􀁎􀁑 􀁄 ονομάζεται υπακολουθία της αν.

Αποδεικνύεται ότι μια φραγμένη ακολουθία περιέχει
πάντοτε μια μονότονη υπακολουθία. Άρα μια συγκλίνουσα
προς πραγματικό αριθμό υπακολουθία, αφού είναι γνωστό ότι
κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει προς
πραγματικό αριθμό.

Αν μια ακολουθία δεν συγκλίνει προς πραγματικό αριθμό,
αλλά είναι φραγμένη, θα περιέχει δυο τουλάχιστον
υπακολουθίες που θα συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια.
Ακέραιο μέρος του x ονομάζουμε τον μικρότερο ή ίσο
πλησιέστερο ακέραιο προς τον αριθμό x. Τον συμβολίζουμε με [x].
Έτσι για παράδειγμα έχουμε : [2.3]=2 , [5.9]=5 , [8]=8 και [-5]=-5 ,
[-3.2]=-4 , [-6.8]=-7. Το ακέραιο μέρος του x είναι μια ασυνεχής
συνάρτηση στο R και γενικά ισχύει x 􀀐1􀀟 [ x] 􀁤 x , 􀀅x􀂏
Ονομάζω n τον αριθμό της σκέψης που ήδη έχω κάνει n􀂏N* .
Θέτω επίσης f ( n ) τον αριθμό των ιδεών που ξεχνώ στην νιοστή
σκέψη. Τότε f ( f ( n 􀀐1)) , n 􀁴 2 είναι οι ιδέες που ξέχασα πως είχα
ξεχάσει την προηγούμενη φορά! Από την εκφώνηση προκύπτει
f ( 0 ) 􀀠 0 γιατί ιδέα δεν κατεβαίνει αν δεν σκεφτώ .
Συμπεραίνουμε ακόμη, από την εκφώνηση, ότι ισχύει ο
αναδρομικός τύπος f(n)=n-f(f(n-1)) και θα προσπαθήσουμε να
βρούμε τον νιοστό όρο σαν συνάρτηση του n, ώστε τελικά να
υπολογίσουμε τον αριθμό f(100.000.000)
􀁸 Έστω f(n)=n-f(f(n-1)) , f(0)=0
Θα δείξουμε ότι: f(n+1)-f(n)􀂏{0,1} επαγωγικά
Για n=0 είναι:f(1)=1-f(f(0))=1-f(0)=1-0=1
f(0)=0
f(1)-f(0)=1 (1)
Για n=1 είναι:f(2)=2-f(f(1))=2-f(1)=2-1=1
f(1)=1
f(2)-f(1)=0 (2)
Για n=2 είναι:f(3)=3-f(f(2))=3-f(1)=3-1=2
f(2)=1
f(3)- f(2)=1 (3)
Για n=3 ομοίως
. . . . . .
Για n-1 f(n)-f(n-1)􀂏{0,1} (n)
a) Αν f(n)-f(n-1)=0 τότε f(n)=f(n-1) άρα f(f(n))=f(f(n-1)) δηλαδή
n-f(f(n))=n-f(f(n-1)) οπότε n-f(f(n))=1+n-1-f(f(n-1)) που σημαίνει ότι
f(n+1)=1+f(n) ή f(n+1)-f(n)=1

b) f(n)-f(n-1)=1 τότε f(n)=1+f(n-1)
Έχω: f(f(n))-f(f(n-1))=f(1+f(n-1))-f(f(n-1))=f(1+a)-f(a) όπου a=f(n-1)
Προσθέτοντας τις σχέσεις (1),(2) ,…,(n) έχω 0 􀁤 f ( n 􀀐1) 􀁤 f ( n ) 􀁤 n
άρα η διαφορά f(1+a)-f(a) είναι μία από αυτές τις σχέσεις, τότε
f(1+a)-f(a) 􀂏{0,1}
Όμως f(n+1)-f(n)=n+1-f(f(n))-n+ f(f(n))=1-{f(1+a)-f(a)}􀂏{0,1}
Έτσι σε κάθε περίπτωση f(n+1)-f(n)􀂏{0,1}
Τελικά f(n+1)-f(n)􀂏{0,1} 􀀅n􀂏N
􀁸 Έχουμε από την προηγούμενη
n n
k 1 k 1
0 f ( k 1) f ( k ) 1 k N
0 f ( k ) f ( k 1) 1
0 f ( n ) n
0 f ( n ) 1 n N
n
􀀠 􀀠
􀁤 􀀎 􀀐 􀁤 􀂏 􀂟
􀁤 􀀐 􀀐 􀁤 􀂟
􀁤 􀁤 􀂟
􀁤 􀁤 􀀅 􀂏
􀂦 􀂦
Αυτό σημαίνει ότι η n
a f ( n )
n
􀀠 είναι φραγμένη.
􀁸 Επομένως έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία kn a .
􀁸 Από την αρχική σχέση
έχουμε: f ( n ) 1 f ( f ( n 1)) 1 f ( f ( n 1)) f ( n 1) n 1
n n f(n 1) n 1 n
􀀐 􀀐 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀠 􀀐
􀀐 􀀐
􀁸 Θέτουμε στην προηγούμενη όπου n το kn και έτσι παίρνουμε:
n n n n n
n n n n n
f ( k ) 1 f ( f ( k 1)) 1 f ( f ( k 1)) f ( k 1) k 1
k k f(k 1) k 1 k
􀀐 􀀐 􀀐 􀀐
􀀠 􀀐 􀀠 􀀐
􀀐 􀀐
Επειδή n n 0 􀁤 f ( n ) 􀁤 n 􀂟 0 􀁤 f ( k 􀀐1) 􀁤 k 􀀐1 και δεδομένου ότι
n f ( k 􀀐1)􀂏N η n f ( k 􀀐1) είναι μια επιλογή από όρους της
συγκλίνουσας kn , άρα μια υπακολουθία ln k της kn . Tότε:..

 

Ο Ροδόλφος Μπόρης γεννήθηκε το 1954 και ζει στην Αθήνα. Τελείωσε την Λεόντειο Ν. Σμύρνης.
Σπούδασε στο ΕΜΠ και στο Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών ναυπηγική και μαθηματικά.
Eκδίδει βιβλία επιστημονικά, εκπαιδευτικά και λογοτεχνικά.

 

 

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
ΛΕΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΕΕΣ
Ανάλυση – Ακολουθίες ………………….…………….…. 13
ΤΑ ΑΔΕΛΦΙΑ ΚΑΙ Η ΜΑΓΙΣΣΑ
Θεωρία Αριθμών ………………….………………………… 21
ΟΙ ΔΑΣΚΑΛΟΙ
Ανάλυση – Παράγωγοι …………………………………….. 27
ΤΑ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΔΡΑΚΩΝ
Θεωρία αριθμών – Αναλυτική …………………………….. 37
Ο ΨΑΡΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΝΟΥΦΑΡΟ
Ευκλείδεια Γεωμετρία ……………………………………….. 43
ΗΑL – 9000
Πιθανότητες …………………………………………………….. 49
1972
Ευκλείδεια γεωμετρία ……………………………………….. 57
ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΠ’ ΤΗΝ ΣΟΛΩΝΟΣ
Ευκλείδεια γεωμετρία ……………………………………….. 69
ΤΑ ΤΡΙΑ ΞΩΤΙΚΑ
Ευκλείδεια Γεωμετρία – Αναλυτική ………………………. 75
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΟΝ ΚΥΒΕΡΝΟΧΩΡΟ
Θεωρία αριθμών ………………….….…………….……….. 79
ΤΑ ΑΣΗΜΑΝΤΑ ΣΗΜΕΙΑ
Διαγώνιο Επιχείρημα Cantor …………………………….. 85
Η ΣΚΙΑ ΤΟΥ ΜΑΓΟΥ ΓΚΕΝΤ
Γραφήματα …………………………………………………… 89
ΤΑ ΠΟΥΛΙΑ ΤΟΥ ΔΑΣΟΥΣ 1.
Γεωμετρία – Άλγεβρα ……………………………………….. 99
ΤΑ ΠΟΥΛΙΑ ΤΟΥ ΔΑΣΟΥΣ 2.
Γεωμετρία – Άλγεβρα ………………………………..………. 111
ΤΑ ΠΟΥΛΙΑ ΤΟΥ ΔΑΣΟΥΣ 3.
Γεωμετρία – Άλγεβρα ……………………………….………… 125
ΠΙ
Ανάλυση – Ακολουθίες – Σειρές Ολοκληρώματα ……. 135
ΕΠΙΛΟΓΟΣ
Θεωρία Αριθμών – Ευκλείδεια γεωμετρία ……………… 145
ΠΟΛΕΜΟΣ
Ευκλείδεια γεωμετρία ……………..………………………… 153
ΨΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΤΑΡΤΙ
Θεωρία συνόλων …………………………………………. 161
ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΧΆΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΠΙΚΊΝΔΥΝΟ ΤΡΊΓΩΝΟ
Ευκλείδεια γεωμετρία …………………..…………………… 167
BREXIT – GREXIT
Θεωρία Αριθμών ………………….………………………… 171
ΜΑΧΑΙΛΕΟΝΤΕΣ
Θεωρία Αριθμών ………………….………………………… 177
ΔΑΣΚΑΛΟΙ ΚΑΙ ΔΡΑΚΟΙ
Ανάλυση ……………………………….………………………… 181
ΠΑΡΑΜΥΘΙ ΛΟΓ-ΑΡΙΘΜΟΣ
Ανάλυση ……………………………….………………………… 189
ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
Ανάλυση ……………………………….………………………… 195

ΣΕΙΡΑ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (αρ. σειράς 231)
Τίτλος: Μαθηματικά Παραμύθια
Συγγραφέας: Ροδόλφος Μπόρης
Τόπος και Χρονολογία παρούσας έκδοσης:
Αθήνα, Ιανουάριος 2022
Σελίδες: 202
Διάσταση σελίδας: 15x23cm
Γραμματοσειρά: Myriad Pro
Χαρτί: Γραφής 100gr
ISBN: 978-6182-013-489
Εκδόσεις: 24γράμματα / Γιώργος Δαμιανός
Διεύθυνση / Κεντρική Διάθεση:
Λεωφόρος Πεντέλης 77, Χαλάνδρι 152 34
Τηλ.: +30 210 612 70 74
Email: [email protected]
Web site / e-shop: www.24grammata.com
Copyright © 2022 24γράμματα
H γραφιστική επεξεργασία
έγινε στο ατελιέ γραφικών τεχνών
των εκδόσεων 24γράμματα
(Λεωφ. Πεντέλης 77, Χαλάνδρι, τηλ. 210 612.70.74)
Υπεύθυνος ψηφιακής σελιδοποίησης: Κατερίνα Μηνογιάννη
Δημιουργία εξωφύλλου: Κατερίνα Μηνογιάννη